Question

已知两点A（-2，0），B（2，0），直线AM、BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为-

3

4

．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，直线PE、PF与圆（x-1）²+y²=r²（0＜r＜

3

2

）相切于点E、F，又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R．求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点M（x，y），由题意可得KAMKBM=-

3

4

，利用斜率计算公式即可得出

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

．化简即可．
（II）把x=1代入曲线C的方程，可得点P（1，

3

2

）．由于圆（x-1）²+y²=r²的圆心为（1，0），
利用对称性可知直线PE与直线PF的斜率互为相反数．设直线PE的方程为y=k(x-1)+

3

2

，与椭圆的方程联立可得
（4k²+3）x²+（12k-8k²）x+（4k²-12k-3）=0，由于x=1是方程的一个解，可得方程的另一解为xQ=

4k2-12k-3

4k2+3

．同理xR=

4k2+12k-3

4k2+3

．可得直线RQ的斜率为k_RQ=

1

2

．把直线RQ的方程y=

1

2

x+t代入椭圆方程，消去y整理得x²+tx+t²-3=0．利用弦长公式可得|RQ|．再利用点到直线的距离公式可得：原点O到直线RQ的距离为d．利用S△ORQ=

1

2

|RQ|•d和基本不等式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）设点M（x，y），KAMKBM=-

3

4

，∴

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

．
整理得点M所在的曲线C的方程：

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）．
（Ⅱ）把x=1代入曲线C的方程，可得

1

4

+

y2

3

=1，∵y＞0，解得y=

3

2

，∴点P（1，

3

2

）．
∵圆（x-1）²+y²=r²的圆心为（1，0），
∴直线PE与直线PF的斜率互为相反数．
设直线PE的方程为y=k(x-1)+

3

2

，
联立

y=k(x-1)+ 3 2 x2 4 + y2 3 =1

，化为
（4k²+3）x²+（12k-8k²）x+（4k²-12k-3）=0，
由于x=1是方程的一个解，
∴方程的另一解为xQ=

4k2-12k-3

4k2+3

．
同理xR=

4k2+12k-3

4k2+3

．
故直线RQ的斜率为kRQ=

yR-yQ

xR-xQ

=

-k(xR-1)+ 3 2 -k(xQ-1)- 3 2

xR-xQ

=

-k( 8k2-6 4k2+3 -2)

24k 4k2+3

=

1

2

．
把直线RQ的方程y=

1

2

x+t代入椭圆方程，消去y整理得x²+tx+t²-3=0．
∴|RQ|=

[1+( 1 2 )2][t2-4(t2-3)]

=

15

2

4-t2

．
原点O到直线RQ的距离为d=

|2t|

5

．
∴S△ORQ=

1

2

•

15

2

•

4-t2

•

|2t|

5

=

3

2

t2(4-t2)

≤

3

2

•

t2+(4-t2)

2

=

3

．当且仅当t=±

2

时取等号．
∴△OQR的面积的最大值为

3

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、斜率计算公式、圆的标准方程及其切线性质、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．