Question

已知两点A（-2，0），B（2，0），动点P在y轴上的射影是H，且

PA

•

PB

=2

PH2

．
（1）求动点P的轨迹C的方程（6分）
（2）已知过点B的直线l交曲线C于x轴下方不同的两点M，N，求直线l的斜率的取值范围（6分）

Answer 1

分析：（1）设出点P的坐标（x，y），求出题中所需要的向量代入

PA

•

PB

=2

PH2

，即可得到x，y的关系式，即得到动点P的轨迹C的方程．
（2）分情况讨论斜率不存在、斜率为0与斜率存在但是不为0的三种情况，当斜率存在且不为0时，联立直线与双曲线的方程得到一元二次方程，再结合实根分别可得关于k的不等式组，进而求出k的取值范围即可．

解答：解（1）设P(x，y)，则

PA

=(-2-x，-y)，

PB

=(2-x，-y)，

PH

=（-x，0），
因为

PA

•

PB

=2

PH2

所以得y²-x²=4
（2）①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，它与曲线C在x轴下方的部分只有一个交点(2，-2

2

)
②若直线l的斜率为0，则直线l是x轴，它与曲线C无交点，所以，以上两种情形与题设不符．
③设直线l之方程为y=k （x-2）（k≠0）
联立

y=k(x-2) y2-x2=4

消去x得（k²-1）y²-4ky=8k²=0
设M （x₁，y₁），N （x₂，y₂）
则M，N在x轴下方?

k2-1≠0 16k2-4(k2-1)(-8k2)＞0 4k k2-1 ＜0 -8k2 k2-1 ＞0

解出

2

2

＜k＜1，
∴k∈(

2

2

，1)

点评：解决此类问题的关键是对直线的斜率进行讨论，当斜率存在时正确分析题意再联立方程进而进行准确的运算，讨论圆锥曲线与直线的交点问题是这部分的一个重点内容．