Question

1．设函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）
（1）若f（1）＜0，求a的取值范围；
（2）若f（1）=$\frac{3}{2}$，g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）且g（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据f（1）＜0，解不等式可得a的取值范围．
（2）根据f（1）=$\frac{3}{2}$确定a=2的值，从而可得函数g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x为增函数，可得t≥f（1）=$\frac{3}{2}$，令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²　（t≥$\frac{3}{2}$），分类讨论，利用最小值为-2，可求m的值

解答 解：（1）f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），
∵f（1）＜0，
∴a-$\frac{1}{a}$＜0，
又a＞0，且a≠1，
∴0＜a＜1     
（2）∵f（1）=$\frac{3}{2}$，∴a-$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$，即2a²-3a-2=0，
∴a=2或a=-$\frac{1}{2}$（舍去）
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2
令t=f（x）=2^x-2^-x，
则f（x）=2^x-2^-x为增函数，
∵x≥1，
∴t≥f（1）=$\frac{3}{2}$，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m² （t≥$\frac{3}{2}$）
若m≥$\frac{3}{2}$，当t=m时，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2
若m＜$\frac{3}{2}$，当t=$\frac{3}{2}$时，h（t）_min=$\frac{17}{4}$-3m=-2，解得m=$\frac{25}{12}$＞$\frac{3}{2}$，舍去
综上可知m=2．

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查解不等式，考查二次函数最值的研究，解题的关键是确定函数的单调性，确定参数的范围．