Question

下列说法正确的个数是（　　）
①命题“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x₀∈R，x₀³-x₀²+1＞0”；
②“b=

ac

”是“三个数a，b，c成等比数列”的充要条件；
⑨“m=-1”是“直线mx+（2m-1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的充要条件：
④“复数Z=a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是a=0”是真命题．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①利用命题的否定即可判断出．
②“b=±

ac

”是“三个数a，b，c成等比数列”的充要条件，即可判断出；
⑨对m分类讨论：m=0，

1

2

与当m≠0，

1

2

时，即可判断出；
④“复数Z=a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是a=0，b≠0”，即可判断出．

解答： 解：①命题“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x₀∈R，x₀³-x₀²+1＞0”，正确；
②“b=±

ac

”是“三个数a，b，c成等比数列”的充要条件，因此②不正确；
⑨直线mx+（2m-1）y+1=0和直线3x+my+2=0．当m=0时，两条直线分别化为-y+1=0，3x+2=0，此时两条直线垂直；
当m=

1

2

时，两条直线分别化为

1

2

x+1=0，3x+

1

2

y+2=0，此时两条直线不垂直；
当m≠0，

1

2

时，两条直线的斜率分别为：

-m

2m-1

，-

3

m

，若两条直线垂直，则

-m

2m-1

•（-

3

m

）=-1，解得m=-1；
∴“m=-1”是“直线mx+（2m-1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的充分不必要条件，不正确：
④“复数Z=a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是a=0，b≠0”，因此是假命题．
综上可得：只有①是真命题．
故选：A．

点评：本题考查了简易逻辑的有关知识、相互垂直的直线与斜率之间的关系、分类讨论的思想方法、复数为纯虚数的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．