题目内容
【题目】已知函数
,
为
的导函数.
(1)求证:在
上存在唯一零点;
(2)求证:有且仅有两个不同的零点.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1) 设
，然后判断函数
在
上的符号，得出
的单调性，再利用零点存在定理判断在上是否存在唯一零点即可；
(2) 分
，
，和
三种情况分别考虑
的零点存在情况，从而得证．
(1)设，
当
时，
，所以在
上单调递减，
又因为
，
所以在
上有唯一的零点
，所以命题得证．
(2) ①由(1)知：当
时，
，在
上单调递增;
当
时，
，在
上单调递减;
所以在上存在唯一的极大值点
所以
又因为
所以在上恰有一个零点．
又因为
所以在上也恰有一个零点．
②当时，
，
设
，
所以
在
上单调递减，所以
所以当时，
恒成立
所以在上没有零点．
③当时，
设
，
所以
在
上单调递减，所以
所以当时，
恒成立
所以在上没有零点．
综上，有且仅有两个零点．
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