Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SA⊥底面ABCD，AB=2，AD=1，，∠BAD=120°，E在棱SD上．
（Ⅰ）当SE=3ED时，求证：SD⊥平面AEC；
（Ⅱ）当二面角S-AC-E的大小为30°时，求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：先根据条件得到CA⊥AD，再结合SA⊥平面ABCD建立空间直角坐标系，求出各点的坐标；
（Ⅰ）利用SE=3ED求出点E的坐标，进而得到向量的数量积为0即可证明结论；
（Ⅱ）先根据二面角S-AC-E的大小为30°求出点E的位置，进而求出向量AE的坐标以及平面CDE法向量的坐标，最后代入线面角的计算公式即可．
解答：解：在平行四边形ABCD中，∵AB=2，AD=1，∠BAD=120°，
∴CA⊥AD，又SA⊥平面ABCD，
∴以A为坐标原点，AC，AD，AS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），，D（0，1，0）
∵，
∴
∴
（Ⅰ）∵SE=3ED
∴
∵
∴
∴SD⊥平面AEC
（Ⅱ）∵AC⊥平面SAD，SA⊥底面ABCD，
∴AC⊥AE，AC⊥SA
∴∠SAE为二面角S-AC-E的平面角，即∠SAE=30°，此时E为SD的中点
设平面CDE的法向量为
计算可得，
∴
即直线AE与平面CDE所成角的正弦值为．
点评：本题主要考察用空间向量求直线与平面的夹角．解题的关键是要用的点的坐标比较多，写起来比较繁琐，注意不要出错．