Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=1，AA₁=2，点E为CC₁中点，点F为BD₁中点。

（1）证明EF为BD₁与CC₁的公垂线；
（2）求点D₁到面BDE的距离。

Answer 1

解：（1）取BD中点M，连结MC，FM， ∵F为BD1中点， ∴FM∥D1D且FM=D1D 又EC=CC1，且EC⊥MC， ∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1 又CM⊥面DBD1 ∴EF⊥面DBD1 ∵BD1面DBD1， ∴EF⊥BD1 故EF为BD1与CC1的公垂线。 （2）连结ED1，有 由（1）知EF⊥面DBD1， 设点D1到面BDE的距离为d， 则S△DBC·d=S△DBD·EF ∵AA1=2·AB=1 ∴ ∴ ∴ 故点D1到平面BDE的距离为。