Question

16．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2\sqrt{5}cosα}\\{y=4+2\sqrt{5}sinα}\end{array}\right.$，（a为参数），P是曲线C₁上的动点，M为线段OP的中点，设点M的轨迹为曲线C₂．
（Ⅰ） 求C₂的极坐标方程；
（Ⅱ） 若射线θ=$\frac{π}{6}$与曲线C₁异于极点的交点为A，与曲线C₂异于极点的交点为B，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设M（x，y），则由条件知P（2x，2y），由P点在曲线C₁上，求出C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{5}cosα}\\{y=2+\sqrt{5}sinα}\end{array}\right.$，消去参数α，得C₂的普通方程为x²+y²-2x-4y=0，由此能求出曲线C₂的极坐标方程．
（Ⅱ）曲线C₁的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ-8ρsinθ=0，当$θ=\frac{π}{6}$时，代入曲线C₁的极坐标方程得得ρ=0或$ρ=2\sqrt{3}+4$，从而射线$θ=\frac{π}{6}$与C₁的交点A的极径为${ρ}_{1}=2\sqrt{3}+4$，曲线C₂的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ=0，同理得射线$θ=\frac{π}{6}$与C₂的交点B的极径为ρ₂=$\sqrt{3}+2$，由此能求出|AB|．

解答 解：（Ⅰ）设M（x，y），则由条件知P（2x，2y），
∵P点在曲线C₁上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x=2+2\sqrt{5}cosα}\\{2y=4+2\sqrt{5}sinα}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{5}cosα}\\{y=2+\sqrt{5}sinα}\end{array}\right.$，
∴C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{5}cosα}\\{y=2+\sqrt{5}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
消去参数α，得C₂的普通方程为（x-1）²+（y-2）²=5，即x²+y²-2x-4y=0，
∴曲线C₂的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ=0．
（Ⅱ）曲线C₁的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ-8ρsinθ=0，
当$θ=\frac{π}{6}$时，代入曲线C₁的极坐标方程得${ρ}^{2}-4ρcos\frac{π}{6}-8ρsin\frac{π}{6}$=0，
即${ρ}^{2}-2\sqrt{3}ρ-4ρ=0$，解得ρ=0或$ρ=2\sqrt{3}+4$，
∴射线$θ=\frac{π}{6}$与C₁的交点A的极径为${ρ}_{1}=2\sqrt{3}+4$，
曲线C₂的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ=0，
同理得射线$θ=\frac{π}{6}$与C₂的交点B的极径为ρ₂=$\sqrt{3}+2$，
∴|AB|=|ρ₂-ρ₁|=$\sqrt{3}+2$．

点评 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．