Question

（08年温州八校适应性考试三理）  （16分）    已知函数，其中为实常数，设为自然对数的底数.

   （Ⅰ）当时，求的极值；

   （Ⅱ）若在区间上的最大值为－3，求的值；

   （III）当时，试推断方程 是否有实数解.

Answer 1

解析：（Ⅰ)   …………(2分)

令，则

当时，；当时

故有极大值…………(4分)

（Ⅱ）∵=a+，x∈(0，e)，∈［，+∞

   （1）若a≥－，则≥0，从而f(x)在(0，e)上增函数.

    ∴f(x)_max =f(e)=ae+1≥0.不合题意. …………………………………7分

   （2）若a<－， >0a+>0，即0<x<－

    由a+<0，即－<x≤e.

    ∴f(x)=f(－)=－1+ln(－).

    令－1+ln(－)=－3，则ln(－)=－2.∴－=e，

    即a=－e². ∵－e²<－，∴a=－e²为所求. ……………………………10分

  （Ⅲ)

    由Ⅰ)结论，=f(1)=－1.∴f(x)=－x+lnx≤－1，从而lnx≤x－1.

    令g(x)=|f(x)|－－=x－lnx－－=x－(1+)lnx－……12分

   （1）当0<x<2时，有g(x)≥x－(1+)(x－1)－=－>0.

   （2）当x≥2时，g′(x)=1－［(－)lnx+(1+)?］=

                   =.

    ∴g(x)在[2，+∞上增函数，∴g(x)≥g(2)=

    综合（1）、（2）知，当x>0时，g(x)>0，即|f(x)|>.

    故原方程没有实解.                       ………………………………16分