Question

【题目】设函数, 函数 .

（1）求函数的单调区间和最小值；

（2）讨论 与 的大小关系；

（3）求的取值范围，使得 对任意的都成立.

Answer 1

【答案】（1）减区间是，增区间是，；（2）；（3）.

【解析】分析：（1）由f（1）=0，且f′（x）=可得f（x）=lnx，从而化简g（x）=f（x）+f′（x）=lnx+，从而求导确定函数的单调性及最小值；

（2）通过函数的导数，利用函数的单调性，半比较两个函数的大小关系即可．

（3）利用（1）的结论，转化不等式，求解即可．

详解：（Ⅰ）由题设知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，

∴g'（x）=，令g′（x）=0得x=1，

当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故（0，1）是g（x）的单调减区间．

当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的单调递增区间，

因此，x=1是g（x）的唯一值点，且为极小值点，

从而是最小值点，所以最小值为g（1）=1．

（II）

设，则h'（x）=﹣，

当x=1时，h（1）=0，即，

当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（1）＜0，

因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，

当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，即，

当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，即．

（III）由（I）知g（x）的最小值为1，

所以，g（a）﹣g（x）＜，对任意x＞0，成立g（a）﹣1＜，

即Ina＜1，从而得0＜a＜e．