Question

【题目】已知f．

（1）如果函数的单调递减区间为，求函数的解析式；

（2）在（1）的条件下，求函数的图象在点处的切线方程；

（3）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)g（x）=x3﹣x2﹣x+2；(2)4x﹣y+5=0；(3)[﹣2，+∞）.

【解析】试题分析：（1）由函数递减区间为，所以的解集为，可解和。

（2）由导数可求得函数在点处的切线方程。（3）用分离参数法求解恒成立下参数范围问题。

试题解析：(1)g′(x)＝，由题意得<0的解集是，

即＝0的两根分别是－，1.

将x＝1或x＝－代入方程＝0，得a＝－1.

∴g(x)＝

(2)由(1)知， ， ∴g′(－1)＝4.

∴点P(－1,1)处的切线斜率k＝g′(－1)＝4，

∴函数y＝g(x)的图象在点P(－1,1)处的切线方程为y－1＝4(x＋1)，

即4x－y＋5 ＝0.

(3)∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，

即 在x∈(0，＋∞)上恒成立．

可得a －－在x∈(0，＋∞)上恒成立．

令h(x)＝－－，

则＝- +＝-.

, 得

，

.

.