Question

（2013•聊城一模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=

2

，E、F分别为线段PD和BC的中点
（I）求证：CE∥平面PAF；
（Ⅱ）求二面角A-PB-C的大小．

Answer 1

分析：（I）由题意，可设出PA的中点为H，连接HE，HF，在四边形HECF中证明CE与HF平行，从而利用线平行的判定定理得出结论；
（II）由题中条件知，可建立空间坐标系求出两个半平面的法向量，再利用向量夹角公式求二面角的余弦值，从而得出二面角的大小．

解答：解：（I）由图知，取PA的中点为H，连接EH，HF，
由已知，E、F分别为线段PD和BC的中点及底面ABCD是平行四边形可得出HE

∥

.

1

2

AD，CF

∥

.

1

2

AD
故可得HE

∥

.

CF，
所以四边形FCEH是平行四边形，可得FH

∥

.

CE
又CE?面PAF，HF⊆面PAF
所以CE∥平面PAF
（II）底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，可得CA⊥AD，
又由平面PAD⊥平面ABCD，可得CA⊥平面PAD，所以CA⊥PA
又PA=AD=1，PD=

2

，可知，PA⊥AD
建立如图所示的空间坐标系A-XYZ
因为PA=BC=1，PD=AB=

2

，所以AC=1
所以B（1，-1，0），C（1，0，0），P（，0，0，1），

AB

=（1，-1，0），

AP

=（0，0，1）
设平面PAB的法向量为

m

=（x，y，z）
则可得

x-y=0 z=0

，令x=1，则y=1，z=0，所以

m

=（1，1，0）
又

CB

=（0，-1，0），又

CP

=（-1，0，1）
设平面PCB的法向量为

n

=（x，y，z），则

y=0 -x+z=0

，令x=1，则y=0，z=1，所以

n

=（1，0，1），
所以|cos＜

m

，

n

＞|=

1

2 × 2

=

1

2

所以二面角A-PB-C的大小为60°

点评：本题考查二面角的求法与线面平行的判定，利用空间向量求二面角是一个重要的方法，恰当的建立空间坐标系是解答此题的关键，本题考查了综合法证明及空间想像能力，是一道有一定难度的综合题