Question

【题目】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若函数有两个零点，求证：．

Answer 1

【答案】（1）的增区间是，减区间是；（2）证明见解析

【解析】

（1）先求得导函数，由求得极值点，对分类讨论，即可得出单调性和单调区间．

（2）由（1）知，有两个零点时，则最小值 ，利用换元法令，，即，可知为方程的两个根．构造函数，则为的两个零点，且满足．可得．构造函数，利用导数研究函数的单调性即可证明。

（1）对函数求导可得，令，得

①当时，若则，即

若，则，即．

②当时，若，则，即

若，则，即．

综上，的单调递增区间是，单调递减区间是．

（2）证明：由（1）知，有两个零点时，

∴．

令，

则

∴为方程的两个根．

令，则为的两个零点，．

∴

令，则．

∴在上单调递增

∴

∴，即．

∵

∴当时，单调递增．

∵

∴

∴

∴