Question

【题目】已知函数.

（1）若，求的值；

（2）已知某班共有人，记这人生日至少有两人相同的概率为，，将一年看作365天.

（i）求的表达式；

（ii）估计的近似值（精确到0.01）.

参考数值：，，.

Answer 1

【答案】(1) (2) （i）（ii）

【解析】

（1）先讨论取不同范围内的值时函数的定义域，并根据函数值判断出是的极小值点。通过极值点处，求得导函数代入即可求得的值。求出的值后，再代回函数，证明即可。

（2）每个人生日都不同的概率为，所以根据对立事件的概率即可求得至少有两个人生日相同的概率。

将代入i中得到的式子，可得，令，左右同取对数则，进而可得t的范围，结合参考数据可求得的近似值。

（1）由题得，当时，的定义域为；

当时，的定义域为，

又，且，

所以是的极小值点，故.

而，于是，解得.

下面证明当时，.

当时，，，，

所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以，即符合题意.

综上，.

（2）（i）由于人生日都不相同的概率为，

故人生日至少有两人相同的概率为.

（ii）由（1）可得当时，，即，当且仅当时取等号，

由（i）得.

记，

则，

即

由参考数值得

于是

故.