Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（1+m）-ma_n，其中m∈R，且m≠-1，0．
（1）若数列{a_n}满足a_nf （m）=a_n+1，数列{b_n}满足b₁=

1

2

，b_n=f （b_n-1） （n∈N*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（2）若m=1，记c_a=a_n（

1

bn

-1），数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜4．

Answer 1

分析：（1）由条件可得得：a_n=-ma_n+ma_n-1，即数列{an}是等比数列，又a_nf （m）=a_n+1，得f （m）=

m

1+m

．再由b_n=f （b_n-1）=

bn-1

1+bn-1

，可得

1

bn

-

1

bn-1

=1，故{

1

bn

}是首项为2，
公差为1的等差数列，由此求得数列{b_n}的通项公式．
（2）先求出 a_n=(

1

2

)n-1，进而求得 c_n=a_n（

1

bn

-1）=n×(

1

2

)n-1，再进一步求得T_n=1+2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n-1，利用错位相减法求出T_n的值．

解答：（1）解：由S_n=（1+m）-ma_n得：S_n-1=（1+m）-ma_n-1 （n≥2），相减得：a_n=-ma_n+ma_n-1，
∴

an

an-1

=

m

1+m

，m≠-1，m为常数，即数列{an}是等比数列，又a_nf （m）=a_n+1，∴f （m）=

m

1+m

．
∵b_n=f （b_n-1）=

bn-1

1+bn-1

，∴

1

bn

-

1

bn-1

=1，即{

1

bn

}是首项为2，公差为1的等差数列，
故

1

bn

=2+（n-1）=n+1，
∴b_n=

1

n+1

．（6分）
（2）解：当m=1时，

an+1

an

=

1

2

，a₁=S₁=2-a₁，得：a₁=1，∴a_n=(

1

2

)n-1，（8分）
∴c_n=a_n（

1

bn

-1）=n×(

1

2

)n-1，
∴T_n=1+2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n-1，

1

2

Tn=

1

2

+2(

1

2

)2+3(

1

2

)3+…+（n-1）(

1

2

)n-1+n(

1

2

)n，
相减得：

1

2

Tn=1+

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n(

1

2

)n=2-2(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n＜2，
∴T_n＜4．  （12分）

点评：本题主要考查等差数列的通项公式，等比关系的确定，数列与不等式综合，用错位相减法进行数列求和，属于难题．