Question

（2012•九江一模）已知函数f（x）=x-acosx，x∈（-

π

2

，

π

2

）．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的极大值；
（2）若函数f（x）有极大值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求f′（x）=0的值，再分别判定在f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值点与极小值点，求出极值．
（2）对字母a进行分类讨论：当|a|≤1时，f′（x）＞0恒成立，没有极值；当a＞1时，由于y=asinx单调增，f（x）在x∈（-

π

2

，

π

2

）没有极大值；当a＜-1时，得a＜asinx＜-a，此时，f（x）在x∈（-

π

2

，

π

2

）有极大值．

解答：解：f′（x）=1+asinx，
（I）当a=-2时，f′（x）=1-2sinx，当f′（x）=0时，x=

π

6

．
当x∈（-

π

2

，

π

6

）时，f′（x）＞0时，当x∈（

π

6

，

π

2

）时，f′（x）＜0时，
∴故当x=

π

6

时，f（x）有极大值，其极大值为f（

π

6

）=

π

6

+

3

．（6分）
（II）当x∈（-

π

2

，

π

2

）时，|sinx|＜1，
（1）当|a|≤1时，得|asinx|＜1，此时，f′（x）＞0恒成立，没有极值；
（2）当a＞1时，得-a＜asinx＜a，此时，f′（x）=0即1+asinx=0有解，设为α，
由于y=asinx单调增，所以当x∈（-

π

2

，α）时，f′（x）＜0，x∈（α，

π

2

）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x∈（-

π

2

，

π

2

）没有极大值；
（3）当a＜-1时，得a＜asinx＜-a，此时，f′（x）=0即1+asinx=0有解，设为β，
由于y=asinx单调增，所以当x∈（-

π

2

，β）时，f′（x）＞0，x∈（β，

π

2

）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在x∈（-

π

2

，

π

2

）有极大值；
综上所述，f（x）有极大值，实数a的取值范围（-∞，-1）

点评：本题综合考查了函数的导数的运用及利用导数研究函数的极值，体现了分类讨论的思想在解题中的应用．