Question

13．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）试判断函数的单调性并加以证明；
（3）对任意的x∈R，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解f（0）=0可得a值；
（2）由单调性的定义可得；
（3）由（1）（2）可得函数f（x）为增函数，当x趋向于正无穷大时，f（x）趋向于1，可得m≥1．

解答 解：（1）由函数为奇函数可得f（0）=$\frac{1+a}{2}$=0，解得a=-1；
（2）由（1）可得f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}+1-2}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
可得函数在R上单调递增，下面证明：
任取实数x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）
=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$＜0，
∴函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$R上的增函数；
（3）∵函数f（x）为增函数，当x趋向于正无穷大时，f（x）趋向于1，
要使不等式f（x）＜m恒成立，则需m≥1

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性以及恒成立问题，属中档题．