Question

已知O为坐标原点，

OA

=（2asin²x，a），

OB

=（1，-2

3

sinxcosx+1），f(x)=

OA

•

OB

+b（a＜b且a≠0）．
（1）求y=f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）的定义域为[

π

2

，π]，值域[2，5]，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积运算、两角和的正弦公式、正弦函数的单调性并对a分类讨论即可得出；
（2）利用正弦函数的单调性和对a分类讨论即可得出．

解答：解：（1）∵f(x)=

OA

•

OB

+b=2asin2x-2

3

asinxcosx+a+b
=a(1-cos2x)-

3

asin2x+a+b
=-2a(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)+2a+b
=-2asin(2x+

π

6

)+2a+b．
当a＞0时，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，(k∈z)，得y=f（x）的单调递增区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，(k∈z)；
当a＜0时，2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，(k∈z)，得y=f（x）的单调递增区间[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，(k∈z)．
（2）f(x)=-2asin(2x+

π

6

)+2a+b，x∈[

π

2

，π]，
∴2x+

π

6

∈[

7π

6

，

13π

6

]，sin(2x+

π

6

)∈[-1，

1

2

]．
当a＞0时，

2a+2a+b=5 -2a• 1 2 +2a+b=2

，解得

a=1 b=1

，不满足a＜b，舍去．
当a＜0时，

2a+2a+b=2 -2a• 1 2 +2a+b=5

，解得

a=-1 b=6

，符合条件．
综上：a=-1，b=6．

点评：本题考查了向量的数量积运算、两角和的正弦公式、正弦函数的单调性、分类讨论，属于难题．