题目内容
已知O为坐标原点，| OA |
| AB |
| PA |
| PB |
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）求
| PA |
| PB |
（3）若Q（1，0），试问动点P的轨迹上是否存在M、N两点，满足
| NQ |
| 4 |
| 3 |
| QM |
分析：（1）由椭圆定义可知，动点P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且长轴长2a=10，根据椭圆的标准方程即可求出．
（2）点P与A，B显然构成焦点三角形，利用焦点三角形中三边关系，以及余弦定理，均值不等式，很容易求出
•
范围，进而求出最小值．
（3）先假设存在M、N两点，满足
=
，再将过（1，0）的直线与椭圆联立，利用韦达定理找到关于m的方程，即可求解
（2）点P与A，B显然构成焦点三角形，利用焦点三角形中三边关系，以及余弦定理，均值不等式，很容易求出
| PA |
| PB |
（3）先假设存在M、N两点，满足
| NQ |
| 4 |
| 3 |
| QM |
解答：解（1）∵
=(-4，0)，
=(8，0)，
∴A（-4，0），B（4，0）．
又∵动点P满足|
|+|
|=10，
∴动点P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且长轴长2a=10∴a=5，b=3．
椭圆方程为
+
=1．
（2）
•
=|
||
|cos∠APB=|
||
|
=2a2-2b2-|
||
|=18-|
||
|≥18-
=-7，∴
•
的最小值为-7
（3）假设存在M、N两点，满足
=
，则M，Q，N共线，
设M（x1，y1），N（x2，y2），由
=
，可得
，∴y2=-
y1．①
设方程为x=my+1，代入椭圆方程，化简得，（9m2+25）y2+18my-216=0，
y1+y2=-
，y1y2=-
，把①代入，得y1=
，y12=
∴m=
或-
| OA |
| AB |
∴A（-4，0），B（4，0）．
又∵动点P满足|
| PA |
| PB |
∴动点P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且长轴长2a=10∴a=5，b=3．
椭圆方程为
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
（2）
| PA |
| PB |
| PA |
| PB |
| PA |
| PB |
|
| ||||
2|
|
| PA |
| PB |
| PA |
| PB |
(|
| ||||
| 4 |
| PA |
| PB |
（3）假设存在M、N两点，满足
| NQ |
| 4 |
| 3 |
| QM |
设M（x1，y1），N（x2，y2），由
| NQ |
| 4 |
| 3 |
| QM |
|
| 4 |
| 3 |
设方程为x=my+1，代入椭圆方程，化简得，（9m2+25）y2+18my-216=0，
y1+y2=-
| 18m |
| 9m2+25 |
| 216 |
| 9m2+25 |
| 54m |
| 9m2+25 |
| 162 |
| 9m2+25 |
∴m=
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
点评：此题综合考查了椭圆的定义、焦点三角形的应用，重点考查了直线与椭圆的关系，解题时要耐心细致，重点掌握．
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