题目内容

已知O为坐标原点,对于函数f(x)=asinx+bcosx,称向量
OM
=(a,b)
为函数f(x)的伴随向量,同时称函数f(x)为向量
OM
的伴随函数.记
ON
=(1,
3
)
的伴随函数为h(x),则使得关于x的方程h(x)-t=0在[0,
π
2
]
内恒有两个不相等实数解的实数t的取值范围是
[
3
,2)
[
3
,2)
分析:由题意可得,h(x)=sinx+
3
cosx=2sin(x+
π
3
),由 0≤x≤
π
2
,可得
π
3
≤x+
π
3
6
.故函数y=2sinθ,θ∈[
π
3
6
],和函数 y=t有2个交点,数形结合可得t的范围.
解答:解:由题意可得,h(x)=sinx+
3
cosx=2sin(x+
π
3
),由关于x的方程h(x)-t=0在[0,
π
2
]
内恒有两个不相等实数解,
可得函数h(x)的图象和直线y=t在[0,
π
2
]
内恒有两个不同的交点.
由 0≤x≤
π
2
,可得
π
3
≤x+
π
3
6

故函数y=2sinθ,θ∈[
π
3
6
],和函数 y=t有2个交点,故有
3
≤t<2,
即t的范围为[
3
,2),
故答案为[
3
,2).
点评:本题主要考查函数的零点和方程的根的关系,体现了转化、数形结合的数学思想,属于中档题.
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