Question

已知函数的最大值不大于，又当
（1）求a的值；
（2）设．证明

Answer 1

【答案】分析：（1）由函数的最大值不大于，求得a²的范围，再由第二个条件即可得到a的值
（2）由第一问a的值确定f（x）的解析式，然后利用数学归纳法证明该不等式．
解答：解：（1）由于的最大值不大于，所以，即a²≤1.①
又时，所以即解得a≥1．②
由①②得a=1．
（2）由（1）知f（x）=x-
①当n=1时，，不等式成立；
因，所以，故n=2时不等式也成立．
②假设n=k（k≥2）时，不等式成立，因为的对称轴为，
知f（x）在为增函数，所以由得
于是有，
所以当n=k+1时，不等式也成立．
根据①②可知，对任何n∈N^*，不等式成立．
点评：本题是道难题，考查了二次函数的性质以及函数与数列的综合问题，在证明第二问的不等式式注意数学归纳法的应用．