Question

【题目】在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l的参数方程为 (t为参数，α为直线的倾斜角)．

(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．

Answer 1

【答案】（1）当 时，直线l方程为x＝－1；当 时，直线l方程为

y＝(x＋1)tanα； x2＋y2＝2x （2）或.

【解析】

（1）对直线l的倾斜角分类讨论，消去参数即可求出其普通方程；由，即可求出曲线C的直角坐标方程；

（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，根据条件Δ＝0，即可求解.

(1)当时，直线l的普通方程为x＝－1；

当时，消去参数得

直线l的普通方程为y＝(x＋1)tan α.

由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，

所以x2＋y2＝2x，即为曲线C的直角坐标方程．

(2)把x＝－1＋tcos α，y＝tsin α代入x2＋y2＝2x，

整理得t2－4tcos α＋3＝0.

由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，

所以cos α＝或cos α＝，

故直线l的倾斜角α为或.