Question

【题目】已知函数（且）是定义在上的奇函数.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数的值域；

（Ⅲ）当时， 恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .

【解析】试题分析：

(Ⅰ)由函数为奇函数可得，即，可得．（Ⅱ）分离常数可得，故函数为增函数，再由，可得，即可得函数的值域．(Ⅲ)通过分离参数可得在时恒成立，令，则有，根据函数的单调性可得函数的最大值，从而可得实数的取值范围．

试题解析：

（Ⅰ）∵是上的奇函数，

∴，

即.

整理可得．

（注：本题也可由解得，但要进行验证）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

∴函数在上单调递增，

又，

∴，

∴．

∴函数的值域为．

（Ⅲ）当时， ．

由题意得在时恒成立，

∴在时恒成立．

令，

则有，

∵当时函数为增函数，

∴.

∴.

故实数的取值范围为．