Question

【题目】如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥EF，AF＝AD＝2AB＝2DE＝2．

（1）求证：CE∥面ABF；

（2）求直线DE与平面BDF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）．

【解析】

（1）取AF中点记为G，连EG，证明EGBC为平行四边形，得到CE∥BG，再用线面平行的判定定理证明即可.

（2））根据四边形ABCD为矩形，得到 ，由平面ABCD⊥平面ADEF，得到平面ABCD，且 ，设点E到平面BDF的距离为h，由VB﹣DEF＝VE﹣BDF，求出，然后由求解．

（1）如图所示：

取AF中点记为G，连EG，

∵，且，

又，且，

所以，且，

∴EGBC为平行四边形，

∴CE∥BG，

又∵CE面ABF，BG面ABF，

∴CE∥面ABF；

（2）因为四边形ABCD为矩形，

所以 ，又因为平面ABCD⊥平面ADEF，

所以平面ABCD， ，

设点E到平面BDF的距离为h，

因为VB﹣DEF＝VE﹣BDF，

所以，

因为AF∥DE，AF⊥EF，AF＝AD＝2AB＝2DE＝2．

所以，

所以，

又因为，

所以S△BDF＝ ，

解得，

设直线DE与平面BDF所成角为θ，

所以．