Question

2．在△ABC中，AB=$\sqrt{2}$，点D在边BC上，BD=2DC，cos∠DAC=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cos∠C=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（1）求$\frac{AC}{DC}$的值；
（2）判断△ABD的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的边角关系结合正弦定理和余弦定理求出BD，CD和AD的长度，即可得到结论．
（2）由已知及（1）可得：AB=AD=$\sqrt{2}$，BD=2，利用勾股定理可得：∠BAD=90°，进而可得△ABD为等腰直角三角形．

解答 解：（1）∵BD=2DC，
∴设CD=x，AD=y，则BD=2x，
∵cos∠DAC=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cos∠C=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠DAC=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，sin∠C=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
则由正弦定理得$\frac{AD}{sinC}=\frac{CD}{sin∠DAC}$，
即$\frac{y}{\frac{\sqrt{5}}{5}}=\frac{x}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$，即y=$\sqrt{2}$，
sin∠ADB=sin（∠DAC+∠C）=$\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{3\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则∠ADB=$\frac{π}{4}$，∠ADC=$\frac{3π}{4}$，
在△ABD中，AB²=BD²+AD²-2AD•BDcos$\frac{π}{4}$，
即2=4x²+2x²-2×2x×$\sqrt{2}$x•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2x²，
即x²=1，解得x=1，即BD=2，CD=1，AD=$\sqrt{2}$，
在△ACD中，AC²=AD²+CD²-2AD•CDcos$\frac{3π}{4}$=2+1-2×$\sqrt{2}$×$（-\frac{\sqrt{2}}{2}）$=5，
即AC=$\sqrt{5}$，
则$\frac{AC}{DC}$=$\frac{\sqrt{5}}{1}$=$\sqrt{5}$．
（2）△ABD为等腰直角三角形．
证明：由已知及（1）可得：AB=AD=$\sqrt{2}$，BD=2，
可得：AB²+AD²=BD²，可得：∠BAD=90°，
故：△ABD为等腰直角三角形，得证．

点评 本题主要考查解三角形的应用，熟练掌握勾股定理，正弦定理和余弦定理是解决本题的关键，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．