Question

已知复数，．复数，z²ω³在复数平面上所对应的点分别为P，Q．
证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．

Answer 1

解法一：，
于是，，=
因为OP与OQ的夹角为，所以OP⊥OQ．
因为，所以|OP|=|OQ|
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．
解法二：
因为，所以z³=-i．
因为，所以ω⁴=-1
于是
由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．
分析：利用复数三角形式，化简复数，．
然后计算复数，z²ω³，计算二者的夹角和模，即可证得结论．
点评：本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力，是中档题．