题目内容
已知复数z满足：z2+z+1=0，则1+z+z2+z3+…+z2007=
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．分析：先把z求出来，再找到z的特性，然后把问题分组，构造z2+z+1，利用z2+z+1=0和z的特性即可求值
解答：解：∵复数z满足z2+z+1=0
∴z=
∴z3=1
又1+z+z2+z3+…+z2007=（1+z+z2）+（z3+z4+z5）+（z6+z7+z8）+…+（z2004+z2005+z2006）+z2007
=（1+z+z2）+z3（1+z+z2）+z6（1+z+z2）+…+z2004（1+z+z2）+z2007=z2007=（z3）669=1
∴z=
-1±
| ||
| 2 |
∴z3=1
又1+z+z2+z3+…+z2007=（1+z+z2）+（z3+z4+z5）+（z6+z7+z8）+…+（z2004+z2005+z2006）+z2007
=（1+z+z2）+z3（1+z+z2）+z6（1+z+z2）+…+z2004（1+z+z2）+z2007=z2007=（z3）669=1
点评：本题考查复数运算，要注意问题的变形和条件的灵活应用．属简单题
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