Question

16．如图，在几何体ABCDQP中，AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，CD=AD=AQ=PQ=$\frac{1}{2}$AB．
（1）证明：平面APD⊥平面BDP；
（2）求二面角A-BP-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中点E，连结PE，推导出PE⊥AB，AP⊥BP，从而PB⊥平面APD，由此能证明平面APD⊥平面BDP．
（2）以A为原点，AQ为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BP-C的正弦值．

解答 证明：（1）取AB中点E，连结PE，
∵AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，设CD=AD=AQ=PQ=$\frac{1}{2}$AB=1．
∴PB⊥AD，PE=1，且PE⊥AB，
∴AP=PB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AP²+BP²=AB²，∴AP⊥BP，
∵AD∩AP=A，∴PB⊥平面APD，
∵PB?平面BDP，∴平面APD⊥平面BDP．
解：（2）以A为原点，AQ为x轴，AB为y轴，AD为z轴，
建立空间直角坐标系，
则P（1，1，0），B（0，2，0），C（0，1，1），
$\overrightarrow{BP}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{BC}$=（0，-1，1），
设平面BPC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=x-y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
平面ABP的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角A-BP-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{3}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴二面角A-BP-C的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．