Question

6．已知x满足条件2（${log}_{\frac{1}{2}}$x）²+9${log}_{\frac{1}{2}}$x+9≤0，求函数f（x）=（log₂$\frac{x}{3}$）•（log₂$\frac{x}{4}$）的最大值．

Answer 1

分析 令${log}_{\frac{1}{2}}$x=t，由题意求出$\frac{3}{2}$≤log₂x≤3，再根据二次函数的性质即可求出最大值．

解答 解：令${log}_{\frac{1}{2}}$x=t，
∵2（${log}_{\frac{1}{2}}$x）²+9${log}_{\frac{1}{2}}$x+9≤0，
∴2t²+9t+9≤0，
解得-3≤t≤-$\frac{3}{2}$，
∴-3≤${log}_{\frac{1}{2}}$x≤-$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{3}{2}$≤log₂x≤3，
∵f（x）=（log₂$\frac{x}{3}$）•（log₂$\frac{x}{4}$）=（log₂x-log₂3）（log₂x-2），
再令m=log₂x，则$\frac{3}{2}$≤m≤3，
∴f（m）=（m-log₂3）（m-2）=m²-（2+log₂3）m+2log₂3，
∵对称轴m=1+log₂$\sqrt{3}$，且$\frac{3}{2}$＜1+log₂$\sqrt{3}$＜3，
∴f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$-$\frac{3}{2}$×（2+log₂3）+2log₂3=$\frac{9}{4}$-3+$\frac{1}{2}$log₂3=log₂$\sqrt{3}$-$\frac{3}{4}$＜$\frac{1}{4}$
f（3）=9-3（2+log₂3）+2log₂3=3-log₂3＞1，
∴f（3）＞f（$\frac{3}{2}$），
∴函数f（x）=（log₂$\frac{x}{3}$）•（log₂$\frac{x}{4}$）的最大值3-log₂3

点评 本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，一元二次不等式、对数不等式的解法，属于中档题．