Question

是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程；若不存在，说明理由．

　　(1)渐近线方程为x±2y=0；

　　(2)点A(5，0)到双曲线上动点P的距离的最小值为．

Answer 1

答案：
解析：

假设存在同时满足题中两条件的双曲线． 　　若双曲线的焦点在x轴上： 　　设动点P(x，y)及双曲线方程为，则 　　． 　　若2≤4，则l ≤4 　　当x=4时，|AP|min=， 　　解得l =-1，这不可能，故无解． 　　若2＞4，则当x=2时，|AP|min=|2-5|= 　　解得(应舍去)，此时 　　此时存在双曲线方程为． 　　若双曲线的焦点在l轴上 　　因为渐近线方程为x±2y=0 　　所以设双曲线方程为 　　(l＞0，x∈R) 　　所以|AP|= 　　　　　 ，x∈R 　　则当x=4时，|AP|min=，=1 　　此时存在双曲线方程为．