Question

是否存在同时满足下列条件的抛物线？若存在，求出它的方程；若不存在，请说明理由．
（1）准线是y轴；
（2）顶点在x轴上；
（3）点A（3，0）到此抛物线上动点P的距离最小值是2．

Answer 1

分析：假设存在这样的抛物线，依题意可设抛物线方程，设P（x₀，y₀），代入抛物线方程，进而可求得|AP|²令f（a）=|AP|²，看当a＞0时判断当3-2a≥a时，|AP|²=f（3-2a），当3-2a＜a时，|AP|²=f（a），分别求得a，抛物线方程可得．当a＞0时与已知矛盾，综合可得答案．

解答：解：假设存在这样的抛物线，顶点为（a，0），则方程为y²=4a（x-a）（a≠0），
设P（x₀，y₀），则y₀²=4a（x₀-a），
|AP|²=（x₀-3）²+y₀²=[x₀-（3-2a）]²+12a-8a²，
令f（a）=|AP|²，
①a＞0时，有x₀≥a，
当3-2a≥a即a∈（0，1]时，
|AP|²=f（3-2a），∴a=1或a=

1

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；
抛物线方程为y²=4（x-1）或y²=2（x-

1

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）．
当3-2a＜a即a＞1时，|AP|²=f（a）．
∴a=5或a=1（舍），
抛物线方程为y²=20（x-5）．
②当a＜0时，显然与已知矛盾，
∴所求抛物线方程为y²=4（x-1）或y²=2（x-

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2

）或y²=20（x-5）．

点评：本题主要考查了抛物线的定义．涉及到了函数的最值问题．做题时要注意对a＞0和a＜0时分别讨论．