题目内容

对于定义域为[0，1]的函数f(x)如果同时满足以下三条：①对任意的，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．则称函数f(x)为理想函数．

(Ⅰ)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；

(Ⅱ)判断函数g(x)＝2x－1是否为理想函数，并予以证明；

(Ⅲ)若函数f(x)为理想函数，假定，使得，且f(f(x0))＝x0，求证f(x0)＝x0．

答案：
解析：

　　(1)取得

　　又由①，故　2分

　　(2)显然，在[0，1]满足①；满足②

　　若，，，则

　　

　　

　　故理想函数．　7分

　　(3)由③知任给、[0，1]，时

　　事实上、[0，1]，由知[0，1]

　　

　　若，则前后矛盾；

　　若，则前后矛盾；

　　故．　12分


练习册系列答案
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对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称函数f（x）为理想函数．
（1）若函数f（x）为理想函数，求f（0）的值；
（2）判断函数g（x）=2x-1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；
（3）若函数f（x）为理想函数，假定?x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证f（x0）=x0．
对于定义域为[0，1]的函数f（x）如果满足以下三个条件：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥2；②f（1）=3；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-2成立．则称函数f（x）为理想函数．
（1）判断函数g（x）=2x+1 （0≤x≤1）是否为理想函数，并予以证明；
（2）求定义域为[0，1]的理想函数f（x）的最大值和最小值；
（3）某同学发现：当x=
1
2n
（n∈N）时，有f（
1
2n
）≤
1
2n
+2，由此他提出猜想：对一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，请你根据该同学发现的结论（或其它方法）来判断此猜想是否正确，并说明理由．
对于定义域为[0，1]的函数f（x），若同时满足以下三个条件：
①f（1）=1； 
②?x∈[0，1]，总有f（x）≥0； 
③当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），则称函数f（x）为理想函数．
（Ⅰ）若函数f（x）为理想函数，求f（0）．
（Ⅱ）判断函数g（x）=2x-1（x∈[0，1]）和函数h(x)=sin
π2
x（x∈[0，1]）是否为理想函数？若是，予以证明；若不是，说明理由．
（III）设函数f（x）为理想函数，若?x0∈[0，1]，使f（x0）∈[0，1]，且f[f（x0）]=x0，求证：f（x0）=x0．
对于定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：（1）对于任意x∈[0，1]，f（x）≥0；（2）f（1）=1；（3）若x1≥0，x2≥0，则f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）问函数g（x）=f（x）-2x-
1
10
在[
1
2
，1]上是否有零点？
对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称函数f（x）为理想函数．
（1）若函数f（x）为理想函数，求f（0）的值；
（2）判断函数g（x）=2x-1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；
（3）若函数f（x）为理想函数，假定?x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证f（x0）=x0．

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