题目内容
对于定义域为[0，1]的函数f（x），若同时满足以下三个条件：
①f（1）=1；
②?x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
③当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），则称函数f（x）为理想函数．
（Ⅰ）若函数f（x）为理想函数，求f（0）．
（Ⅱ）判断函数g（x）=2x-1（x∈[0，1]）和函数h(x)=sin
x（x∈[0，1]）是否为理想函数？若是，予以证明；若不是，说明理由．
（III）设函数f（x）为理想函数，若?x0∈[0，1]，使f（x0）∈[0，1]，且f[f（x0）]=x0，求证：f（x0）=x0．
①f（1）=1；
②?x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
③当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），则称函数f（x）为理想函数．
（Ⅰ）若函数f（x）为理想函数，求f（0）．
（Ⅱ）判断函数g（x）=2x-1（x∈[0，1]）和函数h(x)=sin
| π | 2 |
（III）设函数f（x）为理想函数，若?x0∈[0，1]，使f（x0）∈[0，1]，且f[f（x0）]=x0，求证：f（x0）=x0．
分析：（I）赋值可考虑取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0），由已知f（0）≥0，可得f（0）=0
（II）要判断函数g（x）=2x-1，h(x)=sin
x（x∈[0，1]）在区间[0，1]上是否为“理想函数，只要检验函数g（x）=2x-1，h(x)=sin
x（x∈[0，1]是否满足题目中的三个条件
（III）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x0）=x0．
（II）要判断函数g（x）=2x-1，h(x)=sin
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
（III）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x0）=x0．
解答：解：（I）取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0）
即f（0）≤0
由已知?x∈[0，1]，总有f（x）≥0可得f（0）≥0，
∴f（0）=0
（II）显然g（x）=2x-1在[0，1]上满足g（x）≥0；②g（1）=1．
若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，
则有g（x1+x2）-[g（x1）+g（x2）]=2x1+x2-1-[（2x1-1）+（2x2-1）]=（2x2-1）（2x1-1）≥0
故g（x）=2x-1满足条件①②③，所以g（x）=2x-1为理想函数．
对应函数h(x)=sin
x在x∈[0，1]上满足①h（1）=1； ②?x∈[0，1]，总有h（x）≥0；
③但当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，例如x1=
=x2时，h（x1+x2）=h（1）=1，而h（x1）+h（x2）=2h（
）=
，不满足条件③，则函数h（x）不是理想函数．
（III）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．
若f（x0）＞x0，则f（x0）≤f[f（x0）]=x0，前后矛盾；
若：f（x0）＜x0，则f（x0）≥f[f（x0）]=x0，前后矛盾．
故f（x0）=x0．
即f（0）≤0
由已知?x∈[0，1]，总有f（x）≥0可得f（0）≥0，
∴f（0）=0
（II）显然g（x）=2x-1在[0，1]上满足g（x）≥0；②g（1）=1．
若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，
则有g（x1+x2）-[g（x1）+g（x2）]=2x1+x2-1-[（2x1-1）+（2x2-1）]=（2x2-1）（2x1-1）≥0
故g（x）=2x-1满足条件①②③，所以g（x）=2x-1为理想函数．
对应函数h(x)=sin
| π |
| 2 |
③但当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，例如x1=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
（III）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．
若f（x0）＞x0，则f（x0）≤f[f（x0）]=x0，前后矛盾；
若：f（x0）＜x0，则f（x0）≥f[f（x0）]=x0，前后矛盾．
故f（x0）=x0．
点评：采用赋值法是解决抽象函数的性质应用的常用方法，而函数的新定义往往转化为一般函数性质的研究，本题结合指数函数的性质研究函数的函数的函数值域的应用，指数函数的单调性的应用．
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