Question

已知A，B是△ABC的两个内角，

a

=

2

cos

A+B

2

i

+sin

A-B

2

j

（其中

i

，

j

是互相垂直的单位向量），若|

a

|=

6

2

．
（1）试问tanA•tanB是否为定值，若是定值，请求出，否则说明理由；
（2）求tanC的最大值，并判断此时三角形的形状．

Answer 1

分析：（1）利用向量模的公式得出关于角A，B的三角方程，利用二倍角公式、和差角公式化简三角方程，两边同除以cosAcosB得结论．
（2）据三角形的内角和为π，利用诱导公式求出tanC与tanA、tanB的关系，再利用基本不等式求出最大值．据三角形中，正切为负角为钝角，判断出三角形的形状．

解答：解：（1）：|

a

|2 =2cos2

A+B

2

+sin2

A-B

2

=

3

2

，
1+cos（A+B）+

1-cos(A-B)

2

=

3

2

cosAcosB-sinAsinB-

cosAcosB+sinAsinB

2

=0

1

2

-

3tanAtanB

2

=0则tanAtanB=

1

3

（2）由（1）可知A、B为锐角
tanC=-tan（B+A）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3(tanA+tanB)

2

≤-3

tanAtanB

=-

3

所以tanC的最大值为-

3

此时三角形ABC为钝角三角形．

点评：本题考查求 向量的模的坐标公式；三角函数的二倍角公式；三角函数的和差角公式；三角函数的同角公式；利用基本不等式求函数的最值．