Question

已知向量

m

=(sinx+1，cosx)，

n

=(sinx，1+cosx)，设函数f(x)=

m

•

n

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，π]，求函数f（x）值域．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为1+

2

sin（x+

π

4

），由此可得函数的最小正周期．
（2）若x∈[0，π]，则

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，由此求得sin（x+

π

4

） 的值域，即可求得函数f（x）值域．

解答：解：（1）由题意可得，函数f（x）=

m

•

n

=sinx（sinx+1）+cosx（cosx+1）=1+sinx+cosx=1+

2

sin（x+

π

4

），故函数的周期等于

2π

1

=2 π．
（2）若x∈[0，π]，则

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，∴-

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1，∴1-

2

×

2

2

≤f（x）≤1+

2

，故函数f（x）的值域为[0，1+

2

]．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．