Question

已知数列{a_n}各项均为正数，S_n为其前n项和，对于n∈N^*，总有成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项a_n；
（II）设数列{}的前n项和为T_n，数列{T_n}的前n项和为R_n，求证：当n≥2，n∈N^*时，R_n-1=n（T_n-1）；
（III）对任意n≥2，n∈N^*，试比较与2+的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意，成等差数列，可得（n∈N^*），再写一式，两式相减，整理可得a_n+1-a_n=1，即{a_n}为公差为1的等差数列，再确定数列的首项．即可求得数列{a_n}的通项a_n；
（II），当n≥2时，R_n-1=1+（1+）+…+（）=n-1++-1=n（）-n，即可证得结论；
（III）先证明，再证明当k≥2时，＜，利用叠加法，即可求得结论．
解答：（I）解：由题意，成等差数列，∴（n∈N^*）．
于是，
两式相减，得，
即a_n+1+a_n=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），
由题，a_n＞0，a_n+1+a_n≠0，
得a_n+1-a_n=1，即{a_n}为公差为1的等差数列．
又由，得a₁=1或a₁=0（舍去）．
∴a_n=1+（n-1）•1=n （n∈N^*）．…（5分）
（II）证明：由（I）知，于是，
于是当n≥2时，R_n-1=1+（1+）+…+（）=n-1++-1
=n（）-n=n（T_n-1）．…（10分）
（III）解：由（I）知，．
∵，∴，
当k≥2时，＜=，
∴＜1+（1-）+（）+…+（）=2+．
即较＜2+．    …（14分）
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，解题的关键是正确放缩，属于中档题．