Question

在数列{a_n}中，已知a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，且对任意正整数n，S_n+1=4a_n+2．
（I）令b_n=a_n+1-2a_n（n=1，2，…），证明{b_n}是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（II）令f（x）=xln（1+x）-a（x+1），为数列{

1

log2cn+2•log2cn+1

}的前n项和，求

lim

n→∞

Tn．

Answer 1

分析：（I）利用数列的前n项和与数列的项的关系将已知条件中的和与项的递推关系转化为项间的递推关系，求出

bn+1

bn

的值，利用等比数列的定义得证，再利用等比数列的通项公式求出通项．
（II）先求出{c_n}的通项，代入

1

log2cn+2•log2cn+1

中，利用裂项相消法求出和T_n，利用基本函数的极限值求出极限．

解答：解（I）a_n+1=S_n+1-S_n=4（a_n-a_n-1）①
∵b_n=a_n+1-2a_n
∴b_n+1=a_n+2-2a_n+1
由①得b_n+1=4（a_n+1-a_n）-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n）
∴

bn+1

bn

=

2(an+1-2an)

an+1-2an

=2
∴b_n}是公比为2的等比数列
∵b₁=a₂-2a₁=3
∴b_n=3×2^n-1
（II）∵Cn=

bn

3

=2n-1
∴

1

log2cn+2•log2cn+1

=

1

n(n+1)

∴Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

∴

lim

n→∞

Tn=

lim

n→∞

(1-

1

n+1

)=1

点评：解决数列中和与项的递推关系的问题，也不是仿写等式关系，相减利用和与项的关系转化为仅有项的关系；求数列的前n项和关键是判断出数列通项的特点，再选择合适的公式．