题目内容
某同学设计一个摸奖游戏：箱内有红球3个，白球4个，黑球5个．每次任取一个，有放回地抽取3次为一次摸奖．至少有两个红球为一等奖，记2分；红、白、黑球各一个为二等奖，记1分；否则没有奖，记0分．（I）求一次摸奖中一等奖的概率；
（II）求一次摸奖得分的分布列和期望．
分析：（I）每次有放回地抽取，取到红球的概率为P1=
=
；取到白球的概率为P2=
=
；取到黑球的概率为P3=
；由此能求出一次摸奖中一等奖的概率．
（II）设ξ表示一次摸奖的得分，则ξ可能的取值为0，1，2.P(ξ=2)=
；P(ξ=1)=
•
•
=
；由此能求出一次摸奖得分ξ的分布列和期望．
| 3 |
| 12 |
| 1 |
| 4 |
| 4 |
| 12 |
| 1 |
| 3 |
| 5 |
| 12 |
（II）设ξ表示一次摸奖的得分，则ξ可能的取值为0，1，2.P(ξ=2)=
| 5 |
| 32 |
| A | 3 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
| 24 |
解答：解：（I）每次有放回地抽取，取到红球的概率为P1=
=
；取到白球的概率为P2=
=
；取到
黑球的概率为P3=
；
一次摸奖中一等奖的概率为P=
(
)2(
)+(
)3=
．
（II）设ξ表示一次摸奖的得分，则ξ可能的取值为0，1，2.P(ξ=2)=
；P(ξ=1)=
•
•
=
；P(ξ=0)=1-P(ξ=1)-P(ξ=2)=
∴一次摸奖得分ξ的分布列为
期望为Eξ=2×
+1×
+0×
=
．
| 3 |
| 12 |
| 1 |
| 4 |
| 4 |
| 12 |
| 1 |
| 3 |
黑球的概率为P3=
| 5 |
| 12 |
一次摸奖中一等奖的概率为P=
| C | 2 3 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 32 |
（II）设ξ表示一次摸奖的得分，则ξ可能的取值为0，1，2.P(ξ=2)=
| 5 |
| 32 |
| A | 3 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
| 24 |
| 61 |
| 96 |
| ξ | 2 | 1 | 0 | ||||||
| P |
|
|
|
| 5 |
| 32 |
| 5 |
| 24 |
| 61 |
| 96 |
| 25 |
| 48 |
点评：本题考查n次独立重复试验恰好发生k次的概率，解题时要注意离散型随机变量ξ的分布列和期望的求法．
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