Question

【题目】如图，已知椭圆，直线，直线与椭圆交于不同的两点，点和点关于轴对称，直线与轴交于点．

（1）若点是椭圆的一个焦点，求该椭圆的长轴的长度；

（2）若，且，求的值；

（3）若，求证：为定值．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）；（3）见解析．

【解析】

（1）利用焦半径算出后可得长轴长．

（2）设，利用可得的方程组，再利用点在椭圆上可求的坐标，从而可求直线的斜率．

（3）设，，用的坐标表示直线的方程，进而求得与的坐标的关系，同理可得与的坐标的关系，利用在椭圆上可得，从而可证为定值．

（1）因为点是椭圆的一个焦点，故焦点在轴上，所以．

又，故，从而椭圆的长轴长为4．

（2）因为，故．因为，所以．

设，则，

所以，，又，

故或，故．

（3）设，，则．

直线的方程为：，

令，则，同理，

故，

因为，故，它是一个定值．