Question

【题目】一个创业青年租用一块边长为4百米的等边田地如图养蜂、产蜜与售蜜,田地内拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在CN上，规划在小路MN与AP的交点O(O与M、N不重合处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，N为出入口小路的宽度不计为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米5万元，小路ON段的建造费用为每百米4万元．

（Ⅰ）若拟修的小路AO段长为百米，求小路ON段的建造费用；

（Ⅱ）设, 求的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）4万元；（Ⅱ），小路AO段与ON段的建造总费用最小为万元.

【解析】

（Ⅰ）在中用余弦定理计算的长度，故可得的长度后即得段的建筑费用.

（Ⅱ）在中用正弦定理计算的长度后得到，令，将其变形为，利用辅助角公式可得，从而得到，验证等号成立后可得何时取最小值.

（Ⅰ）在中，，

即，

故或（舎去），故，

所以段的建筑费用为万元.

（Ⅱ）由正弦定理得：在中，，

故，

，

设小路和段的建造总费用为，

则，

令，且，，

即.

由，得，故，即或（舍去）.

当时，，故，其中，

故由，符合题意.

答：，小路AO段与ON段的建造总费用最小为万元.