Question

椭圆=1(b＞0)的焦点在x轴上，其右顶点关于直线x-y+4=0的对称点在椭圆的左准线上.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)过椭圆左焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交椭圆左准线于点C.设O为坐标原点，且，求ΔOAB的面积.

Answer 1

解：(Ⅰ)椭圆的右顶点为(2，0)， 

设(2，0)关于直线x-y+4=0的对称点为(x₀，y₀)，

则

解得x₀=-4，所以

则b=，所求椭圆方程为

(Ⅱ)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(-4，y₃)，

由得(3+4k²)x²+8k²x+4k²-12=0，

所以x₁+x₂=，①，x₁x₂=，②

因为，即(x₁，y₁)+(-4，y₃)=2(x₂，y₂)，

所以2x₂-x₁=-4  ③ 

由①③得x₂=-，x₁=,

代人②得，-,整理得

4k⁴-k²-5=0，

所以k²=，

所以x₁=,x₂=-，

由于对称性，只需求k=时ΔOAB的面积，

此时，y₁=，y₂=-，

所以S_ΔOAB=|OF|·|y₁-y₂|=.