Question

椭圆=1(b＞0)的焦点在x轴上，其右顶点关于直线x-y+4=0的对称点在椭圆的左准线上．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)过椭圆左焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交椭圆左准线于点C．设O为坐标原点，且，求△OAB的面积．

Answer 1

解：(Ⅰ)椭圆的右顶点为（2，0），

设(2，0)关于直线x-y+4=0的对称点为(x₀，y₀)，

则

解得x₀=-4，所以=4，c=1，

则b=，所求椭圆方程为=1．

(Ⅱ)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(-4，y₃)，

由得(3+4k²)x²+8k²x+4k²-12=0，

所以x₁+x₂=,    ①,

x₁x₂=,        ②

因为，即（x₁，y₁）+（-4，y₃）=2（x₂，y₂），所以2x₂-x₁=-4     ③

由①③得x₂=

代入②得，，整理得4k⁴-k²-5=0，

所以k²=，

所以x₁=，x₂=-，

由于对称性，只需求k=时，△OAB的面积，

此时，y₁=,y₂=，

所以S_△OAB=|OF|·|y₁-y₂|=.