Question

设f（x）=x²+ax+b，求证：||f（1）|，|f（2）||f（3）|中至少有一个不小于

1

2

．

Answer 1

证明：∵f（x）=x²+px+q
∴f（1）=1+p+qf（2）=4+2p+qf（3）=9+3p+q
所以f（1）+f（3）-2f（2）=（1+p+q）+（9+3p+q）-2（4+2p+q）=2．
假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于

1

2

，
则 |f(1)|＜

1

2

，|f(2)|＜

1

2

，|f(3)|＜

1

2

，
即有 -

1

2

＜f(1)＜

1

2

-

1

2

＜f(2)＜

1

2

-

1

2

＜f(3)＜

1

2

∴-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2
由贞面可知f（1）+f（3）-2f（2）=2，
与-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2矛盾，
∴假设不成立，即原命题成立．