Question

设f（x）=x²+a．记f¹（x）=f（x），fⁿ（x）=f（f^n-1（x）），n=1，2，3，…，集合M={a∈R|对所有正整数n，

.

fn(0)

.

≤2}．
证明：M=[-2，

1

4

]．

Answer 1

分析：讨论a，如果a＜-2，则

.

f1(0)

.

=|a|＞2，a∉M，如果当0≤a≤

1

4

时，

.

fn(0)

.

≤

1

2

，当-2≤a＜0时，

.

fn(0)

.

≤|a|，利用数学归纳法可证明，如果a＞

1

4

时，当n＞

2-a

a- 1 4

时，a_n+1＞n（a-

1

4

）+a＞2-a+a=2，即fⁿ⁺¹（0）＞2，从而可证得结论．

解答：证明：（1）如果a＜-2，则

.

f1(0)

.

=|a|＞2，a∉M．  …（5分）
（2）如果-2≤a≤

1

4

，由题意，f¹（0）=a，fⁿ（0）=（f^n-1（0））²+a，n=2，3，…．则
①当0≤a≤

1

4

时，

.

fn(0)

.

≤

1

2

，（?n≥1）．
事实上，当n=1时，

.

f1(0)

.

=|a|≤

1

2

，
设n=k-1时成立（k≥2为某整数），则对n=k，

.

fk(0)

.

≤

.

fk-i(0)

.

 ²+a≤（

1

2

）²+

1

4

=

1

2

．
②当-2≤a＜0时，

.

fn(0)

.

≤|a|，（?n≥1）．
事实上，当n=1时，

.

f1(0)

.

≤|a|，
设n=k-1时成立（k≥2为某整数），则对n=k，有-|a|=a≤（f^k-1（0））²+a≤a²+a
注意到当-2≤a＜0时，总有a²≤-2a，即a²+a≤-a=|a|．从而有

.

fk(0)

.

≤|a|．
由归纳法，推出[-2，

1

4

]⊆M．…（15分）
（3）当a＞

1

4

时，记a_n=fⁿ（0），则对于任意n≥1，a_n＞a＞

1

4

且a_n+1=fⁿ⁺¹（0）=f（fⁿ（0））=f（a_n）=

a

2 n

+a．
对于任意n≥1，a_n+1-a_n=

a

2 n

-a_n+a=（a_n-

1

2

）²+a-

1

4

≥a-

1

4

．则a_n+1-a_n≥a-

1

4

．
所以，a_n+1-a=a_n+1-a₁≥n（a-

1

4

）．当n＞

2-a

a- 1 4

时，a_n+1＞n（a-

1

4

）+a＞2-a+a=2，即fⁿ⁺¹（0）＞2．
因此a∉M．
综合（1），（2），（3），我们有M=[-2，

1

4

]．

点评：本题主要考查了归纳推理，以及分类讨论的数学思想，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．