Question

设f（x）=x²+a．记f¹（x）=f（x），fⁿ（x）=f（f^n-1（x）），n=1，2，3，…，集合M={a∈R|对所有正整数n，≤2}．
证明：M=[-2，]．

Answer 1

【答案】分析：讨论a，如果a＜-2，则=|a|＞2，a∉M，如果当0≤a≤时，≤，当-2≤a＜0时，≤|a|，利用数学归纳法可证明，如果a＞时，当n＞时，a_n+1＞n（a-）+a＞2-a+a=2，即fⁿ⁺¹（0）＞2，从而可证得结论．
解答：证明：（1）如果a＜-2，则=|a|＞2，a∉M．  …（5分）
（2）如果-2≤a≤，由题意，f¹（0）=a，fⁿ（0）=（f^n-1（0））²+a，n=2，3，…．则
①当0≤a≤时，≤，（?n≥1）．
事实上，当n=1时，=|a|≤，
设n=k-1时成立（k≥2为某整数），则对n=k，≤²+a≤（）²+=．
②当-2≤a＜0时，≤|a|，（?n≥1）．
事实上，当n=1时，≤|a|，
设n=k-1时成立（k≥2为某整数），则对n=k，有-|a|=a≤（f^k-1（0））²+a≤a²+a
注意到当-2≤a＜0时，总有a²≤-2a，即a²+a≤-a=|a|．从而有≤|a|．
由归纳法，推出[-2，]⊆M．…（15分）
（3）当a＞时，记a_n=fⁿ（0），则对于任意n≥1，a_n＞a＞且a_n+1=fⁿ⁺¹（0）=f（fⁿ（0））=f（a_n）=+a．
对于任意n≥1，a_n+1-a_n=-a_n+a=（a_n-）²+a-≥a-．则a_n+1-a_n≥a-．
所以，a_n+1-a=a_n+1-a₁≥n（a-）．当n＞时，a_n+1＞n（a-）+a＞2-a+a=2，即fⁿ⁺¹（0）＞2．
因此a∉M．
综合（1），（2），（3），我们有M=[-2，]．
点评：本题主要考查了归纳推理，以及分类讨论的数学思想，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．