题目内容

如图，四棱锥P-ABCD中，底面是矩形且AD=2， $数学公式$ ，PA⊥底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上．
（1）求F在何处时，EF⊥平面PBC；
（2）在条件（1）下，EF是否为PC与AD的公垂线段？若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由；
（3）在条件（1）下，求直线BD与平面BEF所成的角．

（1）以A为坐标原点，分别以射线AD、AB、AP为x轴、
y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
A（0，0，0），P（0，0， $\text{[math]}$ ，B（0， $\text{[math]}$ ，0），C（2， $\text{[math]}$ ，0），
D（2，0，0），E（1，0，0），
∵F在PC上，∴不妨令 $\text{[math]}$ ，
设F（x，y，z）， $\text{[math]}$ =（2，0，0）， $\text{[math]}$ =（2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，y，z），
∵EF⊥平面PBC，∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
又∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，x=1， $\text{[math]}$ ，
故F为PC的中点…（4分）
（2）由（1）可知：EF⊥PC，且EF⊥BC即EF⊥AD，∴EF是PC与AD的公垂线段，
∵ $\text{[math]}$ ，x=1， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ …（8分）
（3）由（1）可知 $\text{[math]}$ =（2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且PB=BC=2，F为PC的中点，
∴PC⊥BF，又∵EF⊥PC，∴ $\text{[math]}$ 为平面BEF的一个法向量，
而 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，0），设BD与平面BEF所成角为θ，
则 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
故BD与平面BEF所成的角为 $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（1）、建立空间坐标系利用空间向量共线、空间向量垂直建立方程计算出F点坐标，从而判断出F是PC中点；
（2）、利用（1）的结论及BC转化了垂直关系，再利用空间两点间的距离公式计算出；
（3）、找到法向量，再利用直线与平面的夹角计算公式，可得到夹角．
点评：本题重点考查了空间向量共线、垂直，空间两点间的距离公式，直线与平面的夹角计算公式．锻炼了学生几何问题代数化和学生的计算能力．