Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，椭圆 ()的短轴长为2，椭圆上的点到右焦点距离的最大值为．过点作斜率为的直线交椭圆于，两点（，），是线段的中点，直线交椭圆于，两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，，求的值；

（3）若存在直线，使得四边形为平行四边形，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由题意列出关于a，b，c的方程，解得a，b则可得椭圆的方程.

（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理可得D的坐标，进而得到直线的方程，再与椭圆的方程联立，可得M的的坐标，代入已知的向量关系式中，解得k即可.

（3）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及，得到关于m与k的不等关系式，再将四边形为平行四边形转化为向量关系，得到m与k的等量关系，代入不等式消去k可得m的范围.

（1）由条件，，，，

解得，，

所以椭圆的标准方程为.

（2）当时，直线的方程为，

设 ，

由消去得：.

因为点在椭圆内，所以.

所以，所以.

所以，直线的方程为：.

由消去得：，所以 .

因为，所以，

因为，解得.

（3）直线的方程为，

由消去得：.

所以，即（*），

且，所以.

因为，关于原点对称，

由（2）易知，.

由四边形为平行四边形，所以，

可得，即.

由于将代入（*）式恒成立，

所以当时，，

因为，所以.