Question

已知正三棱柱内接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：如图所示，设球心为O点，上下底面的中心分别为O₁，O₂．设正三棱柱的底面边长与高分别为x，h．可得O₂A=

3

3

x．在Rt△OAO₂中，利用勾股定理可得(

h

2

)2+(

3

3

x)2=22，可得h2=16-

4

3

x2．由于S_侧=3xh，可得

S

2 侧

=9x²h²=12x²（12-x²）≤12(

x2+12-x2

2

)2即可得出．

解答： 解：如图所示，
设球心为O点，上下底面的中心分别为O₁，O₂．
设正三棱柱的底面边长与高分别为x，h．
则O₂A=

2

3

×

3

2

x=

3

3

x，
在Rt△OAO₂中，(

h

2

)2+(

3

3

x)2=22，
化为h2=16-

4

3

x2．
∵S_侧=3xh，
∴

S

2 侧

=9x²h²=9x2(16-

4

3

x2)=12x²（12-x²）≤12(

x2+12-x2

2

)2=432．
当且仅当x=

6

时取等号．
故答案为：

6

．

点评：本题考查了正三棱柱的性质、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．