Question

（2012•莆田模拟）如图，椭圆C：

x2

4

+y2=1的上顶点B，M、N是椭圆C上异于点B的两个动点．
（1）若M为椭圆C的下顶点，N为椭圆C的右顶点，求△BMN外接圆的方程；
（2）若动点M、N关于原点中心对称，试求直线BM与BN的斜率之积．

Answer 1

分析：法一：（1）依题意，得B（0，1），N（2，0），M（0，-1），由kMN=-

1

2

，得直线l的方程为y-

1

2

=2（x-1），由此能求出△BMN外接圆的方程．
（2）设M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），则kBM=

y1-1

x1

，kBN=

-y1-1

-x1

，由此能求出直线BM与BN的斜率之积．
法二：（1）由已知，得B（0，1），N（2，0），M（0，-1），设△BMN的外接圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，由此能求出△BMN外接圆的方程．
（2）设MN的方程为y=kx，由

x2 4 +y2=1 y=kx

，得

x1= 2 4k2+1 y1= 2k 4k2+1

，或

x2= -2 4k2+1 y2= -2k 4k2+1

，由此能求出直线BM与BN的斜率之积．

解答：解法一：（1）依题意，得B（0，1），N（2，0），M（0，-1），
∵kMN=-

1

2

，
∴BN的垂直平分线l的斜率k_l=2，
∵BN的中点为（1，

1

2

），
∴直线l的方程为y-

1

2

=2（x-1），
令y=0，得x=

3

4

，
∴外接圆圆心的坐标为（

3

4

，0），
∴外接圆半径为2-

3

4

=

5

4

，
∴△BMN外接圆的方程为(x-

3

4

)2+y2=

25

16

．

（2）设M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），
∴kBM=

y1-1

x1

，kBN=

-y1-1

-x1

，
∴k_BM•k_BN=

y1-1

x1

•

-y1-1

-x1

=

y12-1

x12

，
∵

x12

4

+y12=1，
∴y12-1=-

x12

4

，
∴kBM•kBN=

- x12 4

x12

=-

1

4

．

解法二：（1）由已知，得B（0，1），N（2，0），M（0，-1），
设△BMN的外接圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则

1+E+F=0 1-E+F=0 4+2D+F=0

，
解得

E=0 F=-1 D=- 3 2

，
∴所求圆的方程为x2+y2-

3

2

x-1=0．
（2）直线MN的斜率显然存在，设MN的方程为y=kx，
由

x2 4 +y2=1 y=kx

，得

x1= 2 4k2+1 y1= 2k 4k2+1

，或

x2= -2 4k2+1 y2= -2k 4k2+1

，
∴k_BM•k_BN=

2k 4k2+1 -1

2 2k2+1

•

-2k 4k2+1 -1

- 2 4k2+1

=-

1

4

．

点评：本题主要考查椭圆的几何性质、圆的方程、直线的斜率等基础知识、考查运算求解能力、推理论证能力、考查数形结合思想、函数与方程思想．