题目内容
(2012•莆田模拟)已知函数f(x)=lnx+x2-mx.
(1)若m=3,求函数f(x)的极小值;
(2)若函数f(x)在定义域内为增函数,求实数m的取值范围;
(3)若m=1,△ABC的三个顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)在函数f(x)的图象上,且x1<x2<x3,a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C所对的边.求证:a2+c2<b2.
(1)若m=3,求函数f(x)的极小值;
(2)若函数f(x)在定义域内为增函数,求实数m的取值范围;
(3)若m=1,△ABC的三个顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)在函数f(x)的图象上,且x1<x2<x3,a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C所对的边.求证:a2+c2<b2.
分析:(1)确定函数f(x)的定义域为(0,+∞),求导函数,确定函数的单调性,从而可求函数的极小值;
(2)求导函数,函数f(x)在定义域内为增函数,转化为2x2-mx+1≥0在(0,+∞)上恒成立,分离参数,利用基本不等式求最值,即可求实数m的取值范围;
(3)由(2)知,当m=1时,函数在(0,+∞)上单调递增,利用
=(x1-x2,y1-y2),
=(x3-x2,y3-y2),求得
•
<0,从而可得∠ABC为钝角,利用余弦定理可得结论.
(2)求导函数,函数f(x)在定义域内为增函数,转化为2x2-mx+1≥0在(0,+∞)上恒成立,分离参数,利用基本不等式求最值,即可求实数m的取值范围;
(3)由(2)知,当m=1时,函数在(0,+∞)上单调递增,利用
BA |
BC |
BA |
BC |
解答:(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),若m=3,则f(x)=lnx+x2-3x
∴f′(x)=
令f′(x)>0,∵x>0,∴0<x<
或x>1;令f′(x)<0,
∵x>0,∴
<x<1
∴x=1时,函数有极小值为f(1)=-2;
(2)解:求导函数可得:f′(x)=
∵函数f(x)在定义域内为增函数,
∴f′(x)=
≥0在(0,+∞)上恒成立
∴2x2-mx+1≥0在(0,+∞)上恒成立
∴m≤2x+
在(0,+∞)上恒成立
∵x>0时,2x+
≥2
(当且仅当x=
时取等号)
∴m≤2
∴实数m的取值范围为(-∞,2
];
(3)证明:由(2)知,当m=1时,函数在(0,+∞)上单调递增
∵A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)在函数f(x)的图象上,且x1<x2<x3,
∴y1<y2<y3,
∴
=(x1-x2,y1-y2),
=(x3-x2,y3-y2),
∴x1<x2<x3,y1<y2<y3,
∴
•
<0
∴cos<
,
>=
<0
∴∠ABC为钝角
∴
<0
∴a2+c2<b2.
∴f′(x)=
(x-1)(2x-1) |
x |
令f′(x)>0,∵x>0,∴0<x<
1 |
2 |
∵x>0,∴
1 |
2 |
∴x=1时,函数有极小值为f(1)=-2;
(2)解:求导函数可得:f′(x)=
2x2-mx+1 |
x |
∵函数f(x)在定义域内为增函数,
∴f′(x)=
2x2-mx+1 |
x |
∴2x2-mx+1≥0在(0,+∞)上恒成立
∴m≤2x+
1 |
x |
∵x>0时,2x+
1 |
x |
2 |
| ||
2 |
∴m≤2
2 |
∴实数m的取值范围为(-∞,2
2 |
(3)证明:由(2)知,当m=1时,函数在(0,+∞)上单调递增
∵A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)在函数f(x)的图象上,且x1<x2<x3,
∴y1<y2<y3,
∴
BA |
BC |
∴x1<x2<x3,y1<y2<y3,
∴
BA |
BC |
∴cos<
BA |
BC |
| ||||
|
|
∴∠ABC为钝角
∴
a2+c2-b2 |
2ac |
∴a2+c2<b2.
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查恒成立问题,考查不等式的证明,分离参数,确定函数的最值是关键.
练习册系列答案
相关题目